Question

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．（1

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．（1）求证：b+c=-1；（2）求证：c≥3；（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

Answer 1

（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，桥裤册可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）证明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x²-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，纯轿即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin²α-（1+c）sinα+c=（sinα-

1+c

2

）²+c-（

1+c

2

）²，
∵

1+c

2

≥2
∴当sinα=-1时，f（sinα）敏宏的最大值为1-b+c．
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．