Question

如图，已知三棱锥P-ABC的侧面PAC是底角为45°的等腰三角形，PA=PC，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，AB=

如图，已知三棱锥P-ABC的侧面PAC是底角为45°的等腰三角形，PA=PC，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，B1C1=3．（1）求证：二面角A-PB-C是直二面角；（2）求二面角P-AB-C的正切值；（3）若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体ABC-A1B1C1，求几何体ABC-A1B1C1的侧面积．

Answer 1

证明：（1）如图，在三棱锥P-ABC中，取AC的中点D．
由题设知△PAC是等腰直角三角形，且PA⊥PC．
∴PD⊥AC．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，
∵AC⊥BC∴PA⊥BC，∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，
即二面角A-PB-C是直二面角．
解（2）作DE⊥AB，E为垂足，则PE⊥AB．
∴∠PED是二面角P-AB-C的平面角．
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，则AC=8，PD=4
由Rt△ADE～Rt△ABC，得DE＝

BC?AD

AB

=

6×4

10

=

12

5

，
∴所求正切为tan∠PED＝

PD

DE

=

5

3

．
（3）∵B1C＝3＝

1

2

BC∴A₁，B₁，C₁分别是PA，PB，PC的中点．
∴S△PAC＝

1

2

×8×4＝16，
S△PBC＝

1

2

×6×4

2

＝12

2

．
∵PE＝

PD2+DE2

=

16+ 144 25

=

4

5

34

，