Question

（2014?濮阳一模）已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，抛物线y2=4x的焦点为椭圆E的一

（2014?濮阳一模）已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，抛物线y2=4x的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y=x+3上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过点S（0，-13）的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线的焦点可得：F₁（1，0），F₂（-1，0），
点F₁（1，0）关于直线y=x+

3

的对称点为F1′(?

3

，

3

+1)，
故|PF1|+|PF2|≥|F1′F2|＝2

2

＝2a，
因此a＝

2

，b=1，c=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2＝1；
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1  …①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+(y+

1

3

)2＝

16

9

  …②
联立①②得，

x＝0 y＝1

，∴定点M（0，1）．
证明：设直线l：y＝kx?

1

3

，代入

x2

2

+y2＝1，
有(2k2+1)x2?

4

3

kx?

16

9

＝0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝

4k

3(2k2+1)

，x1x2＝

?16

9(2k2+1)

．
则

MA

＝(x1，y1?1)，

MB

＝(x2，y2?1)，

MA

?

MB

＝x1x2+(y1?1)(y2?1)
=x1x2+(kx1?

4

3

)(kx2?

4

3

)
=(1+k2)x1x2?

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)?

?16

9(2k2+1)

?

4

3

k?

4k

3(2k2+1)

+

16

9

＝0．
∴在y轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．