Question

函数f(x)=2√x -√4-x 的值域为

Answer 1

解由x≥0且4-x≥0
解得0≤x≤4
故设x=4sin^2a，a属于[0，π/2]
故原函数变为
y=2√4sin^2a-√(4-4sin^2a)
=2×2sina-√4cos^2a
=4sina-2cosa
=√20(4/√20sina-2/√20cosa)
=√20sin(a-θ)其中cosθ=4/√20,sinθ=2/√20
故当a=π/2时，有最大值y=√20sin(π/2-θ)=√20cosθ=4
当a=0时，有最小值y=√20sin(0-θ)=-√20sinθ=-2
故函数值域为[-2,4]。

追问

这题没有sin，只是根号，要怎么解

追答

这是换元解法，
不用换元只能用导数了，

换元是为了去根号

Answer 2

f(x)=2√x -√4-x =2√x -2-x =(√x -1)²-1≥ -1，
显然，当x=1时，f(x)取最小值域 -1，所以值域为[-1，+∞)。