Question

在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P为DD 1 的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB 1 ⊥平面PAC

在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P为DD 1 的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB 1 ⊥平面PAC．

Answer 1

证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2． 则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B 1 （2，2，2）． ∴ O B 1 =(1，1，2) ， AC =(-2，2，0) ， AP =(-2，0，1) ． ∵ O B 1 ? AC =-2+2+0=0 ， O B 1 ? AP =-2+0+2 =0， ∴ O B 1 ⊥ AC ， O B 1 ⊥ AP ， ∴OB 1 ⊥AC，OB 1 ⊥AP， 又AP∩AC=A，∴OB 1 ⊥平面PAC．