Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 °．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 °．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG∽△BFE； （3）设AD=a，AB=b，BC=c ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系； ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

Answer 1

解：（1）不可以。理由如下： 根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90 °， ∴Rt△EGD中，GE＜ED。 ∴AE＜ED。 ∴点E不可以是AD的中点。 （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBF， ∵由折叠知△EAB≌△EGB， ∴∠AEB=∠BEG。 ∴∠EBF=∠BEF。 ∴FE=FB， ∴△FEB为等腰三角形。 ∵∠ABG+∠GBF=90 °，∠GBF+∠EFB=90 °， ∴∠ABG=∠EFB。 在等腰△ABG和△FEB中， ∠BAG=（180 °﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180 °﹣∠EFB）÷2， ∴∠BAG=∠FBE。 ∴△ABG∽△BFE。 （3）①∵四边形EFCD为平行四边形， ∴EF∥DC。     ∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°， ∴∠DAB=∠BDC=90°。     又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC。 ∴△ABD∽△DCB。 ∴ 。 ∵AD=a，AB=b，BC=c， ∴BD= ∴ ， 即a 2 +b 2 =ac。 ②由①和b=2得关于a的一元二次方程a 2 ﹣ac+4=0， 由题意，a的值是唯一的，即方程有两相等的实数根， ∴△=0，即c 2 ﹣16=0。 ∵c＞0， ∴c=4。 ∴由a 2 ﹣4a+4=0，得a=2。 由①△ABD∽△DCB和a= b=2， 得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形， ∴∠C=45 °。