Question

已知关于 的方程 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另

已知关于 的方程 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

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Answer 1

(1)证明见解析；（2）4+ 或4+ ．

试题分析：（1）根据关于x的方程x 2 -（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 ；再根据三角形的周长公式进行计算． 试题解析：（1）证明：∵△=（m+2） 2 -4（2m-1）=（m-2） 2 +4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2） 2 +4＞0，即△＞0， ∴关于x的方程x 2 -（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 1 2 -1×（m+2）+（2m-1）=0， 解得，m=2， 则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为 ； 该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 ；则该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ．