Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为 2 2 ，离心率 e= 2 2 ，过

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为 2 2 ，离心率 e= 2 2 ，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

（1）由已知，椭圆方程可设为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ． ∵长轴长为 2 2 ，离心率 e= 2 2 ， ∴ b=c=1 ， a= 2 ． 所求椭圆方程为 x 2 2 + y 2 =1 ． （2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1． 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）， 由 x 2 +2 y 2 =2 y=x-1 得3y 2 +2y-1=0，解得 y 1 =-1， y 2 = 1 3 ． ∴ S △POQ = 1 2 |OF|?| y 1 - y 2 |= 1 2 | y 1 - y 2 |= 2 3 ． （3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形． 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）． 由 x 2 +2 y 2 =2 y=k(x-1) 可得（1+2k 2 ）x 2 -4k 2 x+2k 2 -2=0． ∴ x 1 + x 2 = 4 k 2 1+2 k 2 ， x 1 x 2 = 2 k 2 -2 1+2 k 2 ． ∵y 1 =k（x 1 -1），y 2 =k（x 2 -1） ∴ y 1 y 2 = - k 2 1+2 k 2 因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形 ? OP ? OQ =0 ． 由 OP ? OQ = x 1 x 2 + y 1 y 2 = 2 k 2 -2 1+2 k 2 + - k 2 1+2 k 2 =0 得k 2 =2， ∴ k=± 2 ． ∴所求直线的方程为 y=± 2 (x-1) ．