Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，-23）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，-23）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若S△PFN=4S△PFM，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题得c=1，
∵抛物线过点A（3，2）和点C(?1，?

2

3

)
∴

9a+3b+1＝2 a?b+1＝? 2 3

∴

a＝? 1 3 b＝ 4 3

∴y＝?

1

3

x2+

4

3

x+1

（2）∵y＝?

1

3

x2+

4

3

x+1＝?

1

3

(x?2)2+

7

3

∴P(2，

7

3

)∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵A与M关于对称轴对称
∴M（1，2），ME=1
过点N作NH⊥PF于点H
∵S_△PFN=4S_△PFM
∴ME＝

1

4

NH
∴NH=4
∴N（6，-3）．
可求直线MN：y=-x+3
∴F（2，1）

（3）∵B（0，1），M（1，2），延长AM交y轴于点D，则D（0，2），
∴∠DBM=∠DMB=45°，BM=

BD2+DM2

＝