Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）令cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=5----------------（1分）
∵S_n+1=4a_n+2
∴当n≥2时S_n=4a_n-1+2，将两式作差可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
而b_n=a_n+1-2a_n，则b_n=2b_n-1------------------（3分）
∴{b_n}是以首项为3，公比为2的等比数列即b_n=3?2^n-1-------------------------（4分）
（2）an+1＝2an+3?2n?1，两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

?

an

2n

＝

3

4

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

3

4

为公差的等差数列------------------------------（6分）
∴an＝(3n?1)2n?2-----------------------------------（8分）
（3）∵b_n=3?2^n-1，∴c_n=nb_n=3n?2^n-1，
T_n=3×2+6×2²+…+3n?2^n-1，
2T_n=3×2²+6×2³+…+3n?2ⁿ，
将两式作差可得Tn＝3?2n(n?1)+3---------------（12分）（最后一问中间过程不给分，只看结果）