Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．有下

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．有下列命题：①若函数所有极大值对应的点均在同一条直线上，则c=1；②从左起第n个极大值点的坐标是（3?2n-2，cn-2）；③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]有6个零点；④当1≤x≤8时，函数f（x）图象与x轴所围成图形面积的最小值等于3．其中，正确命题的序号是______．

Answer 1

①当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

（1-|2x-3|），此时当x=

3

2

时，函数取极大值

1

c

；
当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|；此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜

x

2

≤4，则f（x）=cf（

x

2

）=c（1-|

x

2

-3|），此时当x=6时，函数取极大值c．
由于函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共线，

c?1

3

=

2

3

?（1-

1

c

），解得c=1或2．故①错误；
②由①可知，极大值点的横坐标成等比数列，首项为

3

2

，公比为2，
纵坐标也成等比数列，首项为

1

c

，公比为c，则从左起第n个极大值点的坐标是（3?2^n-2，c^n-2），故②正确；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]，画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象可得有4个交点，故③错；
④当1＜x＜2时，三角形的面积为

1

2

×1×

1

c

，2＜x＜4时，三角形的面积为

1

2

×2×1=1，
当4＜x＜8时，
三角形的面积为

1

2

×4×c=2c．
故面积和为：
1+2c+

1

2c

≥1+2=3．当且仅当c=

1

2

，取最小值3．故④正确．
故答案为：②④