Question

设n阶方阵A≠0，但对某个正整数k，有Ak=0．证明：（1）|A+E|=1；（2）A不可能与对角矩阵相似

设n阶方阵A≠0，但对某个正整数k，有Ak=0．证明：（1）|A+E|=1；（2）A不可能与对角矩阵相似．

Answer 1

证明：（1）设α是任一A的特征向量，λ是的α对应的特征值，则Aα=λα
∴由A^k=0，得λ^kα=0，
而α≠0，
∴λ=0
即A的特征值只有0（n重）
∴A+E的特征值全为1（n重）
∴|A+E|=1
（2）由（1）知A的特征值只有0
而齐次线性方程组-Ax=0的系数矩阵A≠0
∴0＜r（-A）≤n
∴-Ax=0的基础解系所含解向量的个数n-r（A）＜n
即A的线性无关的特征向量小于n个
∴A不可能与对角矩阵相似