已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的
已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程...
已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值;(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g'(x),求函数h(x)的最大值;(Ⅲ)求证:对任意正整数n,总有ln(1+12)+ln(1+122)+…+ln(1+12n)<1?12n.
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(Ⅰ)依题意知直线l的斜率k=f′(1)=
=1,
∵f(1)=0,故直线l与函数f(x)的图象的切点坐标是(1,0),
∴直线l的方程为y=x-1;
又∵直线l与g(x)的图象也相切,
∴由
得x2+2(m-1)x+9=0,
令△=(m-1)2-9=0,∵m<0
∴解得m=-2;
(II)∵g'(x)=x+m=x-2,
∴h(x)=f(x+1)-g'(x)=ln(x+1)-x+2,
∴h′(x)=
?1=
,
令h'(x)>0,解得-1<x<0,令h'(x)<0,解得x<-1(舍去)或x>0,
∴h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
∴当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=2;
(Ⅲ)∵由(II)知:当x>-1时,h(x)≤2,即ln(x+1)-x+2≤2,
∴当x>-1时,ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时等号成立,
∵
>0,故ln(1+
)<
,
∴ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)<
+
+…+
=
=1?
.
1 |
1 |
∵f(1)=0,故直线l与函数f(x)的图象的切点坐标是(1,0),
∴直线l的方程为y=x-1;
又∵直线l与g(x)的图象也相切,
∴由
|
令△=(m-1)2-9=0,∵m<0
∴解得m=-2;
(II)∵g'(x)=x+m=x-2,
∴h(x)=f(x+1)-g'(x)=ln(x+1)-x+2,
∴h′(x)=
1 |
x+1 |
?x |
x+1 |
令h'(x)>0,解得-1<x<0,令h'(x)<0,解得x<-1(舍去)或x>0,
∴h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
∴当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=2;
(Ⅲ)∵由(II)知:当x>-1时,h(x)≤2,即ln(x+1)-x+2≤2,
∴当x>-1时,ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时等号成立,
∵
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∴ln(1+
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1 |
2 |
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