Question

把正整数列按如下规律排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…问：（I）此表第n行

把正整数列按如下规律排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…问：（I）此表第n行的第一个数是多少？（II）此表第n行的各个数之和是多少？（III）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
1=2^1-1，
2=2^2-1，
4=2^3-1，
8=2^4-1，
…，
由此得出第n行的正整数个数为：2^n-1．
（II）由（I）得到第n行的第一个数，且此行一共有2 ^n-1个数，从而利用等差数列的求和公式得：
第n行的各个数之和S＝

2n?1(2n?1+2n?1)

2

＝

3?22n?2?2n?1

2

=

3

8

?4n?

1

4

?2n…（5分）
（III）第n行起的连续10行的所有数之和S′＝

3

8

?4n(1+4+…49)?

1

4

?2n(1+2+…+29)
=2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023），…（7分）
又2²⁷-2¹³-120=2³（2²⁴-2¹⁰-15）
若存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，
则2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2³（2²⁴-2¹⁰-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5时，（*）式成立，
n＞5时由（*）可得2^n-5（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2²⁴-2¹⁰-15，
此等式左边偶数右边奇数，不成立．
所以满足条件的n=5．…（10分）