Question

已知等比数列{an}的公比大于1，Sn是数列{an}的前n项和，S3=39，且a1，23a2，13a3依次成等差数列．（Ⅰ）

已知等比数列{an}的公比大于1，Sn是数列{an}的前n项和，S3=39，且a1，23a2，13a3依次成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足：b1=3，bn=an（1a1+1a2+…+1an?1）（n≥2），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁，

2

3

a2，

1

3

a3依次成等差数列，∴

4

3

a2＝a1+

1

3

a3，即：4a₂=3a₁+a₃．
设等比数列{a_n}公比为q，则4a1q＝3a1+a1q2，∴q²-4q+3=0．
∴q=1（舍去），或q=3．
又S3＝a1+a1q+a1q2＝13a1＝39，故a₁=3，
∴an＝3n．              
（Ⅱ） 当n≥2时，bn＝3n?(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n?1

)＝3n?

1 3 [1?( 1 3 )n?1]

1? 1 3

＝

1

2

[3n?3]．
则bn＝

3 1 2 [3n?3]

n＝1 n≥2

，
∴T_n=3+

1

2

[9+27+81+…+3n-3（n-1）]=3+

1

2

[

9(1?3n?1)

1?3

?3(n?1)]＝

1

4

?3n+1?

3

2

n+

9

4

∴Tn＝

1

4

?3n+1?

3

2

n+

9

4

．