Question

已知：如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=15，∠CBA＞∠CAB，

已知：如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=15，∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，（1）求m、n的值．（2）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式．（3）在（2）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交y轴于N，使以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BCO=90°，
∴∠A=∠BCO，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB
∴

OC

OA

＝

OB

OC

，
∴OC²=OA?OB，
又∵OB=AB-OA，
∴

6

OA

＝

15?OA

6

，解得OA=12或3，由∠CBA＞∠CAB
∴OA=12，OB=3．
∴tan∠CAB=

1

2

，tan∠CBD=2，
∵tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x²+mx+n=0的两根，
∴

1

4

+

1

2

m+n=0①，4+2m+n=0②；
解①②组成的方程组，得：m=?

5

2

，n=1．

（2）过D点作DE⊥AC，垂足为E，
∵∠ACB的角平分线交x轴于D，
∴∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；
∵OA=12，OB=3，
∴AC=6

5

；BC=3

5

，令DE=CE=y，
则

AD

AB

＝

DE

BC

，
∴AD=

15y

3 5

①，又CD=

2

y，AE=AC-CE=6

5

-y，
∴AD=

AE2+DE2

=

y2+(6 5 ?y)2

②，
由①②可得：y＝2

5

，
∴AD=10，
∴OD=2，
∴D点坐标为（-2，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入解得：k=3，b=6，
∴y=3x+6．

（3）存在，M₁（3，15），M₂（-3，-3）