Question

AB为抛物线y²＝2px（p＞0）过焦点的一条弦，A、B在抛物线上，F为焦点。求证1/AF＋1/BF＝2/p

Answer 1

设A(x1, y1) B(x2,y2)
直线AB为ky=x-p/2
然后与抛物线联立即可，得到
y^2-2kpy-p^2=0
所以y1y2=-p^2，y1+y2=2kp
所以x1x2=(ky1+p/2)(ky2+p/2)=k^2y1y2+(kp/2)(y1+y2)+(p^2/4)=p^2/4
x1+x2=k(y1+y2)+p=p(2k^2+1)

那么根据抛物线的定义，
AF=x1+(p/2)，BF=x2+(p/2)
那么
1/AF+1/BF
=1/(x1+(p/2))+1/(x2+(p/2))
=(x1+x2+p)/[x1x2+(p/2)(x1+x2)+p^2/4]
然后把x1+x2=k(y1+y2)+p=p(2k^2+1), x1x2=p^2/4带入后化简得到

1/AF+1/BF=2/p

追问

能不能用几何的方法证明呢

追答

这是个几十年的老题目了，
一直都是这么证明的。

虽然看似很麻烦，
你自己在纸上算一下，计算量很小的。
几何证法好像不行吧，这里是长度的倒数

Answer 2

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

追问

y