Question

设A是三阶矩阵,a1,a2,a3是列向量,且线性无关,Aa1=a1-a2+2a3,Aa2=a1+

2+3a3,Aa3=-a1+a2-3a3，求A的行列式

Answer 1

由aa1=a1+2a2+3a3,
aa2=2a2+3a3,
aa3=3a2-4a3可以知道,
a(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)(1,0,0
2,2,3
3,3,-4)
显然a,(a1,a2,a3)以及
(1,0,0
2,2,3
3,3,-4)都是同阶方阵
所以|a|×|a1,a2,a3|=|a1,a2,a3|×|1,0,0
2,2,3
3,3,-4|
而三维列向量a1,a2,a3线性无关,所以行列式|a1,a2,a3|不等于0,可以约去
于是|a|=|1,0,0
=
2*(-4)
-
3*3=
-17
2,2,3
3,3,-4|
故a的行列式为
-17

Answer 2

A(a1,a2,a3)
= (Aa1,Aa2,Aa3)
= (a1-a2+2a3,a1+a2+3a3,-a1+a2-3a3)

= (a1,a2,a3)K
K=
1 1 -1
-1 1 1
2 3 -3

因为 a1,a2,a3 线性无关, 所 (a1,a2,a3) 可逆
所以 A 与 K 相似
所以 |A| = |K| = -2