Question

高数导数选择题一道

为什么是A？求过程。

Answer 1

用定义。
当f(0)=0
可得出：
F'(0)=lim(F(x)-F(0))/x (x→0+)
=lim(f(x)(1-ln(1+x)))/x (x→0+)
=limf(x)/x (x→0+)
=f'(0)
=lim(F(x)-F(0))/x (x→0-)
=lim(f(x)(1+ln(1+x)))/x (x→0-)
=f'(0)
即F(x)在0处可导。

F'(0)存在
即lim(F(x)-F(0))/x (x→0)存在。
F'(0)=lim(F(x)-F(0))/x (x→0+)
=lim(f(x)(1-ln(1+x))-f(0))/x (x→0+)
又有limf(x)(1-ln(1+x)) /x=f'(0) (x→0+)
则limf(0)/x=F'(0)-f'(0)
显然f(0)=0 否则极限为∞，同理可得出x→0-，f(0)=0