Question

已知 ( 3 x + x 2 ) 2n 的展开式的系数和比（3x-1） n 的展开式的系数和大992，求

已知 ( 3 x + x 2 ) 2n 的展开式的系数和比（3x-1） n 的展开式的系数和大992，求（2x- 1 x ） 2n 的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

由题意知：2 2n -2 n =992，解得n=5． （1） (2x- 1 x ) 10 的展开式中第6项的二项式系数最大，即 T 6 =  C 10 5× (2x) 5 (- 1 x ) 5  =-8064 （2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为 T r+1 = C 10 r× (2x) 10-r (- 1 x ) r =（-1） r C 10 r2 10-r x 10-2r 则 C 10 r 2 10-r ≥ C 10 (r-1) 2 10-r+1 C 10 r 2 10-r ≥ C 10 (r+1) 2 10-r-1 ，得 C 10 r≥2 C 10 r-1 2 C 10 r≥ C 10 r+1 即 11-r≥2r 2(r+1)≥ 10-r 解得 8 3 ≤r≤ 11 3 所以r=3，故系数的绝对值最大的项是第4项 即 T 4 = C 10 3 (2x) 7 (- 1 x ) 3 =-15360 x 4