Question

已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=lo

已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）+L+f（an），Tn=1b1+1b2+L+1bn，求T2012（Ⅲ）若cn=an?f（an），求{cn}的前n项和an．

Answer 1

（I）n=1时，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

                            （1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

an-

1

2

+

1

2

an?1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列                 （3分）
故a_n=(

1

3

)n                                           （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

＝?2(

1

n

?

1

n+1

）                                （6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

      （8分）