Question

已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2

已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（Ⅰ）当点D与点A不重合时（如图①），证明ED2=EB?EC；（Ⅱ）当点D与点A重合时（如图②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直径长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AB，在EA的延长线上取点F．
∵AE是⊙O₁的切线，切点为A，
∴∠FAC=∠ABC，．…（1分）
∵∠FAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠ABC是⊙O₂内接四边形ABED的外角，
∴∠ABC=∠ADE，…（2分）
∴∠DAE=∠ADE．…（3分）
∴EA=ED，
∵EA²=EB?EC，
∴ED²=EB?EC．…（5分）
（Ⅱ）解：当点D与点A重合时，直线CA与⊙O₂只有一个公共点，
∴直线CA与⊙O₂相切．…（6分）
如图②所示，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，
∵∠PAC=∠MAE，
∴∠ABC=∠ABE=90°
∴AC与AE分别为⊙O₁和⊙O₂的直径．…（8分）
∴由切割线定理知：EA²=BE?CE，而CB=2，BE=6，CE=8
∴EA²=6×8=48，AE=4

3

．
故⊙O₂的直径为4

3

．…（10分）