Question

已知函数f（x）=12ax2-x+lnx（a∈R，a≠0）（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

已知函数f（x）=12ax2-x+lnx（a∈R，a≠0）（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=2时，f（x）=x²-x+lnx，f′(x)＝2x?1+

1

x

．
∴f（1）=0，f′（1）=2．
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=2（x-1），
即2x-y-2=0；
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)?ax＝

1

2

ax2?x+lnx?ax，定义域为（0，+∞），
在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，
等价于g（0）＜0在[1，+∞）上恒成立．
∴只要在[1，+∞）上g（x）_max＜0恒成立．
∵g′(x)＝ax?1+

1

x

?a＝

(ax?1)(x?1)

x

，
由g′（x）=0，得x1＝1，x2＝

1

a

．
当0＜a≤1时，x1＝1≤x2＝

1

a

，g（x）在(

1

a

，+∞)上单调递增，
并且在该区间上g（x）∈（g（x₂），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合题意．
当a＞1时，x2＝

1

a

＜x1＝1，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
并且在该区间上g（x）∈[g（1），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合题意．
当a＜0时，x2＝

1

a

＜0，x1＝1，g（x）在[1，+∞）上单调递减，
g(x)max＝g(1)＝

1

2

a?1+0?a＜0，解得-2＜a＜0．
综上，a∈（-2，0）时，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方．