Question

（2014?辽宁模拟）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D

（2014?辽宁模拟）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴

EH

BF

＝

AE

AF

＝

CE

FD

，
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径
∴CG是⊙O的切线．
（3）解：由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0，解之得：FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4

2

，
∴⊙O半径为2

2

．