Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为12，且椭圆的离心

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为12，且椭圆的离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，
△OMF的面积为

1

2

，且椭圆的离心率为

2

2

，
由题意得

1

2

bc＝

1

2

，

c

a

＝

2

2

，
解得b=1，a＝

2

，
故椭圆方程为

x2

2

+y2＝1．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，
由

y＝x+m x2+2y2＝2

得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x1+x