Question

（2012?李沧区一模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB

（2012?李沧区一模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：AB=AF；（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC＝∠FAE ∠ABC＝∠AFE AC＝AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF．

（2）四边形AGCD是菱形．
证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴2AB=AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AF=AF+FC，
∴AF=CF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠FCG，
在△DAF和△GCF中

∠DFA＝∠CFG AF＝FC ∠DAF＝∠FCG

，
∴△DAF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，
∵AD∥CG，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∵DG⊥AC，
∴平行四边形AGCD是菱形．