Question

已知关于x的方程x 2 +（m+2）x+2m-1=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）

已知关于x的方程x 2 +（m+2）x+2m-1=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？求出此时方程的根．

Answer 1

（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1， ∴△=b 2 -4ac=（m+2） 2 -4×1×（2m-1）=m 2 -4m+8=（m-2） 2 +4． ∵无论m为任何实数，（m-2） 2 ≥0， ∴（m-2） 2 +4≥4＞0． ∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程的解为x= -(m+2)± (m-2) 2 +4 2×1 = -(m+2)± (m-2) 2 +4 2 ， ∴x 1 = -(m+2)+ (m-2) 2 +4 2 ，x 2 = -(m+2)- (m-2) 2 +4 2 ∵方程两根互为相反数，即x 1 +x 2 =0． ∴ -(m+2)+ (m-2) 2 +4 2 + -(m+2)- (m-2) 2 +4 2 =0， ∴ -2(m+2) 2 =0 ． ∴m=-2．即当m=-2时，方程的两根互为相反数． 把m=-2代入方程x 2 +（m+2）x+2m-1=0， 解得x=± 5 ， 当方程的两根互为相反数时，此时方程的根为x 1 = 5 ，x 2 =- 5 ．