Question

如图①，已知△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，用它们拼成四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么特殊的

如图①，已知△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，用它们拼成四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形，说明理由；（2）分别延长△ABC的边AB，AC到M，N，使AM=AN，连接MN得到△AMN，再将△AMN绕点A按逆时针方向旋转40°，其边与四边形ABCD的两边BC，CD分别相交于点E，F，请你探索线段BE与CF之间的数量关系，并说明理由；（3）按（2）的操作，若将△AMN绕点A按逆时针方向旋转α角（60°＜α＜80°），其边与四边形ABCD的两边BC，CD的延长线分别相交于点E，F，在图②中画出图形，判断此时（2）中的结论是否成立，并说明理由．

Answer 1

（1）四边形ABCD是菱形． 理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形， ∴AB=BC=AC， AD=CD=AC， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）BE=CF． 理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°， 由旋转的性质，∠BAE=∠CAF=40°， ∵在△ABE和△ACF中， ∠B=∠ACD=60° AB=AC ∠BAE=∠CAF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF； （3）如图，BE=CF． 理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°， 由旋转的性质，∠BAE=∠CAF， ∵在△ABE和△ACF中， ∠B=∠ACD=60° AB=AC ∠BAE=∠CAF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF．