Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。 （1

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。 （1）如图1，连接AF、CE，求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。

Answer 1

解：（1） ，则 在 中， 由勾股定理得 ， 解得 ∴ 。 （2）①显然当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形 同理点P在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形 ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒 ∴ ， ∴ 解得 ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 秒。 ②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上 分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时， ，即 ，得 ；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时， ， 即 ，得
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时， ，即 ，得 。 综上所述，a与b满足的数量关系式是 。