Question

根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（-1，3），（1，3），（2，6）；（2）抛物线顶点坐标

根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（-1，3），（1，3），（2，6）；（2）抛物线顶点坐标为（-1，9），并且与y轴交于（0，-8）；（3）抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），与y轴交于点（0，12）；（4）图象顶点坐标是（2，-5），且过原点；（5）图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（-3，0）且函数有最小值-5；（6）当x=2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c， 把（-1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得， 3=a-b+c①， 3=a+b+c②， 6=4a+2b+c③， 解由①②③组成的方程组得，a=1，b=0，c=2． 所以二次函数的解析式为y=x 2 +2． （2）设y=a（x+1） 2 +9， 把（0，-8）代入解析式得，a=-17， ∴y=-17（x+1） 2 +9=-17x 2 -34x-8， 所以二次函数的解析式为y=-17x 2 -34x-8． （3）∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0）， ∴与x轴的另一个交点为（4，0）， 设y=a（x+2）（x-4）， 把（0，12）代入解析式得，a=- 3 2 ， ∴y=- 3 2 （x+2）（x-4）= - 3 2 x 2 +3x+12， 所以二次函数的解析式为y= - 3 2 x 2 +3x+12． （4）设y=a（x-2） 2 -5， 把（0，0）代入解析式得，a= 5 4 ， ∴y= 5 4 （x-2） 2 -5= 5 4 x 2 -5x， 所以二次函数的解析式为y= 5 4 x 2 -5x． （5）设y=a（x+1）（x+3）， 根据题意可得对称轴为直线x=-2，又函数有最小值-5， ∴顶点坐标为（-2，-5），代入解析式得，a=-5． ∴y=-5（x+1）（x+3）=-5x 2 -20x-15， 所以二次函数的解析式为y=-5x 2 -20x-15． （6）∵当x=2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0）， 设y=a（x-1）（x-3）， 把（2，1）代入解析式得，a=-1， ∴y=-（x-1）（x-3）=-x 2 +4x-3， 所以二次函数的解析式为y=-x 2 +4x-3．

Answer 2

设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c，

把（-1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，

3=a-b+c①，

3=a+b+c②，

6=4a+2b+c③，

解由①②③组成的方程组得，a=1，b=0，c=2．

所以二次函数的解析式为y=x 2 +2．

（2）设y=a（x+1） 2 +9，

把（0，-8）代入解析式得，a=-17，

∴y=-17（x+1） 2 +9=-17x 2 -34x-8，

所以二次函数的解析式为y=-17x 2 -34x-8．

（3）∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），

∴与x轴的另一个交点为（4，0），

设y=a（x+2）（x-4），

把（0，12）代入解析式得，a=-
3
2
，
∴y=-
3
2
（x+2）（x-4）= -