Question

已知函数f(x)＝4sin2x?sin2(x+π4)+cos4x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若g(x)＝f(x+φ)，(?π2＜

已知函数f(x)＝4sin2x?sin2(x+π4)+cos4x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若g(x)＝f(x+φ)，(?π2＜φ＜π2)在x＝π3处取得最大值，求φ的值；（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

解（Ⅰ）f（x）=4sin2x?

1?cos(2x+ π 2 )

2

+cos4x=2sin2x+2sin²2x+1-2sin²2x=2sin2x+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
当2x+2φ=

π

2

+2kπ，k∈Z时取得最大值，将x=

π

3

代入上式，
解得：φ=-

π

12

+kπ，k∈Z，
∴φ=-

π

12

；
（Ⅲ）根据第二问得：g（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数g（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．