Question

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 在 上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0。（1）求a的取值范围；（2）

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 在 上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0。（1）求a的取值范围；（2）设g（x）= f（-x）- f′（x），求g（x）在 上的最大值和最小值。

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Answer 1

解：（1） ，a+b=-1， 则 依题意对于任意x∈（0，1），f′（x）＜0 当a＞0时，因为二次函数 的图像开口向上 而 所以 即 当a=1时，对任意x∈（0，1），有 符合条件 当a=0时，对于任意x∈（0，1）， 符合条件 当a＜0时，因为 不符合条件 故a的取值范围为 。 （2）因 （i）当a=0时， 上取得最小值 在x=1上取得最大值 （ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1），有 g（x）在x=0取得最大值，g（0）=2，在x=1取最小值g（1）=0 （iii）当 时，由 ①若 ，g（x）在[0，1]上单调递增 g（x）在x=0取得最小值g（0）=1+a，在x=1取得最大值g（1）=（1-a）c ② 取得最大值 取得最小值，而 则当 ，g（x）在x=0取得最小值 当 ，g（x）在x=1取得最大值 。