Question

已知：各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a2+2a3=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）将同时满足下

已知：各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a2+2a3=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）将同时满足下列两个条件的数列{cn}称为“约束数列”：①cn＞cn+1（n∈N*）；②存在常数M，使得数列{cn}的前n项和Sn＜M对任意的n∈N*恒成立，试判断数列{an}是否是“约束数列”，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}公比为q，则由a₂+2a₃=1得qa₁+2a₁q²=1，
2q²+q-1=0，解得q=

1

2

或-1．
∵各项均为正数的等比数列{a_n}，
∴q=

1

2

，
即数列的通项公式a_n=（

1

2

）^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an+1

an

＝

1

2

且a_n＞0，
则a_n=2a_n+1＞a_n+1，
设数列{a_n}的前n项和T_n，
则T_n=

a1(1?qn)

1?q

=2[1-(

1

2

)n]=2-（

1

2

）^n-1＜2，
即数列{a_n}的前n项和T_n＜2，
∴数列{a_n}是“约束数列”．