Question

已知函数f（x）=Asin（ωx-π6）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．

已知函数f（x）=Asin（ωx-π6）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α∈(0，π2)，f（α2）=115，求cosα的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，∴最小正周期T=π，∴ω=2，
故函数f（x）的解析式为y=2sin（2x-

π

6

）+1
（2）∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）+1=

11

5

，
∴sin（α-

π

6

）=

3

5

，
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos（α-

π

6

）=

4

5

，
∴cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 ?3

10