Question

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足an2＝2n+1bn．若不等式2n?Sn＞m?2n?2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题an+12?an2＝an2?an?12
?（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}为等差数列，设公差为d，
则?d(an+1+an?an?an?1)＝0?2d2＝0?d＝0
故{a_n}是常数列．（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列．
即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，

a

2 n

＝4+2(n?1)＝2n+2（6分）
由an2＝2n+1bn得bn＝

an2

2n+1

＝

2n+2

2n+1

＝

n+1

2n

Sn＝1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

         ①

1

2

Sn＝

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  ②?

1

2

Sn＝1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?

n+1

2n+1

＝

1

2

+1?

1

2n

?

n+1

2n+1

＝

3

2

?

1

2n

?

n+1

2n+1

?Sn＝3?

n+3

2n

（10分）
不等式2n?Sn＞m?2n?2an2即3?2ⁿ-（n+3）＞m?2ⁿ-4n-4也即（m-3）?2ⁿ＜3n+1，即m?3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2?2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2^k，
所以

3n+1

2n

＞0?m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3（14分）