已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1．如果对任意x1，x2∈（0，+
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-...
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．
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（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.f′(x)＝
+2ax＝
．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x＝
．
则当x∈(0，
)时，f'（x）＞0；x∈(
，+∞)时，f'（x）＜0．
故f（x）在(0，
)单调增加，在(
，+∞)单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)＝
+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即
+2ax+4≤0．
从而a≤
＝
＝
?2
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x＝
?
|
则当x∈(0，
?
|
?
|
故f（x）在(0，
?
|
?
|
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)＝
| a+1 |
| x |
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即
| a+1 |
| x |
从而a≤
| ?4x?1 |
| 2x2+1 |
| (2x?1)2?4x2?2 |
| 2x2+1 |
| (2x?1)2 |
| 2x2+1 |
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）
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