Question

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程 x 2 + x+c－ a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程 x 2 + x+c－ a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x 2 +mx－3m=0的两个根，求m的值．





Answer 1

（1）∵ x 2 + x+c－ a=0有两个相等的实数根， ∴△=（ ） 2 -4× （c- a）=0， 整理得a+b-2c="0" ①， 又∵3cx+2b=2a的根为x=0， ∴a="b" ②， 把②代入①得a=c， ∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形； （2）a，b是方程x 2 +mx-3m=0的两个根， ∴方程x 2 +mx-3m=0有两个相等的实数根 ∴△=m 2 -4×（-3m）=0， 即m 2 +12m=0， ∴m 1 =0，m 2 =-12． 当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去）， ∴m=-12．

（1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，b的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可得到关于a，b的方程组，可求出a，b的关系式； （2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m