Question

已知函数f（x）=2 x +2 ax+b ，且f（1）= 5 2 ，f（2）= 17 4 ．（1）求a、b；（2

已知函数f（x）=2 x +2 ax+b ，且f（1）= 5 2 ，f（2）= 17 4 ．（1）求a、b；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）由已知得： 5 2 =2+ 2 a+b 17 4 =4+ 2 2a+b ，解得 a=-1 b=0 ． （2）由（1）知：f（x）=2 x +2 -x ．任取x∈R，则f（-x）=2 -x +2 -（-x ）=f（x），所以f（x）为偶函数． （3）函数f（x）在（-∞，0]上为减函数． 证明：设x 1 、x 2 ∈（-∞，0]，且x 1 ＜x 2 ，则 f（x 1 ）-f（x 2 ）=（ 2 x 1 + 2 -x 1 ）-（ 2 x 2 + 2 -x 2 ）=（ 2 x 1 - 2 x 2 ）+（ 1 2 x 1 - 1 2 x 2 ）= ( 2 x 1 - 2 x 2 )( 2 x 1 2 x 2 -1)    2 x 1 2 x 2 ∵x 1 ＜x 2 ＜0，∴0＜ 2 x 1 ＜ 2 x 2 ＜1，∴ 2 x 1 2 x 2 ＞0，，∴ 2 x 1 - 2 x 2 ＜0，，∴ 2 x 1 2 x 2 -1＜0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）， ∴函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．