Question

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ-cos2θ的值等于______．

Answer 1

依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，
∵小正方形的面积是

1

25

∴（cosθ-sinθ）²=

1

25

又θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cosθ＞sinθ       
∴cosθ-sinθ=

1

5

      
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=

1

25

∴2cosθsinθ=

24

25

∴1+2sinθcosθ=

49

25

即（cosθ+sinθ）²=

49

25

∴cosθ+sinθ=

7

5

  
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-

7

25

故答案为-

7

25

．