Question

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．（1）当a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
?对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x即ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根
?对任意实数b，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立
?对任意实数b，b²-4ab+4a＞0恒成立
?△′=（4a）²-4×4a＜0
?a²-a＜0
?0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．