Question

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间[?2，32]上单调递减，若b是非负整数（1）

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间[?2，32]上单调递减，若b是非负整数（1）求f（x）的表达式；（2）设0＜m≤2，若对任意的t1，t2∈[m-2，m]，不等式|f（t1）-f（t2）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间[?2，

3

2

]上单调递减，
∴f′（-2）=12-4b+c=0，即c=4b-12…（3分）
∵f′(

3

2

)≤0，∴28b-21≤0，∴b≤

3

4

∵b是非负整数，∴b=0，…（6分）
从而c=-12，所以f（x）=x³-12x+1…（8分）
（2）求导数f′（x）=3（x+2）（x-2），则f（x）在[-2，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增
∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上单调递减
∴[f（x）]_max=f（m-2），[f（x）]_min=f（m）…（12分）
依题意[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，即3m²+2m-8≥0
∴m≤-2或m≥

4

3

∵0＜m≤2，∴

4

3

≤m≤2
∴m的最小值为

4

3

…（16分）