△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)若sin(B-A)=cosC,求A,C;(
△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)若sin(B-A)=cosC,求A,C;(2)判断sinA+sinB...
△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)若sin(B-A)=cosC,求A,C;(2)判断sinA+sinB取最大值时,△ABC的形状.
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(1)因为tanC=
,所以左边切化弦对角相乘得到 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
所以sin(C-A)=sin(B-C),所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立),即2C=A+B,C=60°,所以A+B=120°.
又因为sin(B-A)=cosC=
,所以B-A=30°或B-A=150°(舍),
所以A=45°,C=60°.
(2)由条件可得A+B=120°,sinA+sinB=sinA+sin(120°-A)=
sinA+
cosA=sin(60°+A).
∵0<A<120°,
∴60°<60°+A<180°,
∴sin(60°+A)∈(0,1],
故sinA+sinB∈(0,1],
当sinA+sinB取最大值时,A=30°,B=90°,三角形是直角三角形.
sinA+sinB |
cosA+cosB |
所以sin(C-A)=sin(B-C),所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立),即2C=A+B,C=60°,所以A+B=120°.
又因为sin(B-A)=cosC=
1 |
2 |
所以A=45°,C=60°.
(2)由条件可得A+B=120°,sinA+sinB=sinA+sin(120°-A)=
1 |
2 |
| ||
2 |
∵0<A<120°,
∴60°<60°+A<180°,
∴sin(60°+A)∈(0,1],
故sinA+sinB∈(0,1],
当sinA+sinB取最大值时,A=30°,B=90°,三角形是直角三角形.
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