Question

已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是22，短轴长

已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是22，短轴长为2（1）求椭圆C的标准方程与离心率的值．（2）若直线PF1的倾斜角为450，求直线PF1被椭圆C截的弦长的长度．

Answer 1

（1）∵2c=2

2

，2b=2，
∴c=

2

，b=1，
∴a=

3

，
∴椭圆C的标准方程

x2

3

+y2＝1，
离心率为e=

2

3

=

6

3

．
（2）∵直线PF₁的倾斜角为45⁰，
∴它的斜率为1，
∵F₁（-

2

，0），
∴直线l的方程为：y=x+

2

．
联立方程组，

y＝x+ 2 x2+3y2＝3

，
得4x²+6

2

x+3=0，
∴x₁+x₂=

3 2

2

，x₁x₂=

3

4

，
∴弦长

1+1

?

( 3 2 2 )2?4× 3 4

=

3

∴直线PF₁被椭圆C截的弦长的长度

3

．