Question

已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点（1，32）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程（2）若

已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点（1，32）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程（2）若椭圆E上存在一点 P，使∠F1PF2=30°，求△PF1F2的面积．

Answer 1

（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a²-b²=1①，
∵点（1，

3

2

）在椭圆E上，
∴

1

a2

+

9

4b2

＝1②，
由①、②得：a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）由题意知，a=2，b=

3

、∴c=1
又∵点P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4②
把①两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|?|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|?|PF₂|=12，
∴|PF₁|?|PF₂|=12（2-

3

），
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|?|PF₂|sin30°=6-3

3

、