Question

函数连续性和一致连续性有什么区别？为什么函数f（x）在闭区间上连续，就在该区间上一致连续？

Answer 1

区别：推导概念不同。

f(x)在闭区间[a,b]上连续则一致连续,数学分析教程上都有证明，一般用有限覆盖定理或反证法。

如果所述命题成立，则闭区间上的连续函数就是可导函数。如f(x)=|x|在[-1,1]连续，但在x=0不可导。

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格。

在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数可导。

扩展资料：

连续函数的推导：

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的。

又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的。

连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

参考资料来源：百度百科—连续函数

Answer 2

一致连续性是比连续性更“精密”的概念，在区间上连续的函数，有时某些性质会非常地不同，一致连续性可以进一步给区间上的连续函数加以区分，以解释这些性质的不同。例如y=x和y=1/x这两个函数，在(0.1)上都是连续的，但是在[0.1]上前者连续后者不连续。首先看连续和一致连续的定义，函数f(x)在x0点连续，只要求对任意的ε>0，存在δ>0，使得0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε，而f(x)在区间I上连续的定义是，f(x)在I内任意一点x连续，这就要求对给定的ε，在区间内任意点x，都找到一个符合条件的δ，注意这里找到的δ是随x而变化的，那么现在要问，能否找到一个固定的δ，使得这个δ适用于区间I内任意一点，即对任意ε>0，存在δ>0（这里要求找到的δ是固定的，不随x0的改变而变化），使得对任意x0属于I，只要0<|x-x0|<δ，就有|f(x)-f(x0)|<ε成立。这样的δ是不一定存在的，和我们要讨论的函数f(x)以及区间I都有关，而这正是我们定义一致连续的依据。从定义中可以看出，连续性是逐点定义的，再推广到区间上，而一致连续性是直接在区间上定义的，它没有“点定义”。函数在区间上一致连续则一定连续，反之不一定成立，但是对于闭区间，有“连续一定一致连续”，证明教材上都有，这里只给一个形象的解释，为了找到适用于区间上任意点x的δ，我们不妨先对每一点xi找一个δi（连续性保证可以找到），再取这些δi中最大的那个作为δ，虽然一般δi是不一定有最大值的，但是对于闭区间，则δi必定存在最大值。一致连续性用来刻画函数的变化，它要求函数值的变化不能太“剧烈”，例如y=1/x在x=0附近函数值剧烈变化，因此在(0,1)上不一致连续。同样描述函数值变化的概念还有导数，它们之间有微妙的不同，我们知道某点处函数值剧烈变化一定不可导，但是没有剧烈变化的函数也不一定可导，这是因为可导要求左右导数相等，例如y=|x|在x=0处不可导，但是它在该点的函数值变化并不剧烈，用一致连续性来刻画就更贴切（y=|x|在R上一致连续）。

Answer 3

函数一致连续就一定连续，但反过来不然。比如f(x)=1/x,x>0.
至于第二问，为Cantor定理，可参考链接：http://wenku.baidu.com/view/826113fdc8d376eeaeaa3150.html。