高数：一道判断级数收敛的题目
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好象比较难处理
假设An=ln(n+2)/[(n+1)^x],容易知道为正项级数
因为调和级数是发散的,而ln(n+2)>1,所以当x<=1该级数必然发散.
下面讨论x>1的情况
为方便理解首先讨论简单明了的x>=3的情况
因为当n充分大时,有An<=1/[(n+1)^2]
所以x>=3收敛.
当x在(1,3)时候
首先证明一个引理:对于任意小的t>0,当n充分大恒有ln(n+2)<(n+1)^t
这个应该比较容易吧.
那么An<(n+1)^(x-t),显然可以看出An在(1,3)收敛
所以An>1收敛
假设An=ln(n+2)/[(n+1)^x],容易知道为正项级数
因为调和级数是发散的,而ln(n+2)>1,所以当x<=1该级数必然发散.
下面讨论x>1的情况
为方便理解首先讨论简单明了的x>=3的情况
因为当n充分大时,有An<=1/[(n+1)^2]
所以x>=3收敛.
当x在(1,3)时候
首先证明一个引理:对于任意小的t>0,当n充分大恒有ln(n+2)<(n+1)^t
这个应该比较容易吧.
那么An<(n+1)^(x-t),显然可以看出An在(1,3)收敛
所以An>1收敛
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题目在哪？收敛就判断是否有界
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