Question

数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1， S n = 1 2 a n+1 (n∈ N * ) ．（1）求a 2 ，

数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1， S n = 1 2 a n+1 (n∈ N * ) ．（1）求a 2 ，a 3 ．（2）求数列{a n }的通项a n ；（3）求数列{na n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）令n=1，得到S 1 =a 1 = 1 2 a 2 ，由a 1 =1，得到a 2 =2， 令n=2，得到S 2 =a 1 +a 2 = 1 2 a 3 ， 则a 3 =2（1+2）=6；（3分） （2）∵a n+1 =2S n ，∴S n+1 -S n =2S n ， ∴ S n+1 S n =3 ． 又∵S 1 =a 1 =1， ∴数列S n 是首项为1，公比为3的等比数列，S n =3 n-1 （n∈N * ）．（5分） 当n≥2时，a n =2S n-1 =2?3 n-2 （n≥2）， ∴ a n = 1，n=1 2? 3 n-2 ，n≥2 ；（8分） （3）T n =a 1 +2a 2 +3a 3 +…+na n ， 当n=1时，T 1 =1； 当n≥2时，T n =1+4?3 0 +6?3 1 +…+2n?3 n-2 ①， 3T n =3+4?3 1 +6?3 2 +…+2n?3 n-1 ②， ①-②得：-2T n =-2+4+2（3 1 +3 2 +…+3 n-2 ）-2n?3 n-1 = 2+2? 3(1- 3 n-2 ) 1-3 -2n? 3 n-1 =-1+（1-2n）?3 n-1 ． ∴ T n = 1 2 +(n- 1 2 ) 3 n-1 (n≥2) ． 又∵T 1 =a 1 =1也满足上式， ∴ T n = 1 2 +(n- 1 2 ) 3 n-1 (n∈ N * ) ．（14分）