Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0 坐标为（1，0），将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸

如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0 坐标为（1，0），将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0 的2倍，得到线段OP 1 ；将线段OP 1 绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1 的2倍，得到线段OP 2 ，…，这样依次得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n ．则点P 2 的坐标为 ；当n=4m+1（m为自然数）时，点P n 的坐标为 ．

Answer 1

（0，-4）； 或 ．

试题分析：根据点P 0 坐标求出OP 0 ，然后分别求出OP 1 ，OP 2 ，OP 3 ，OP 4 ，…，OP n ，再根据点P 2 在y轴负半轴写出坐标即可；分m是奇数和偶数两种情况确定出点P n 所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可： ∵P 0 的坐标为（1，0），∴OP 0 =1. ∴OP 1 =2，OP 2 =2×2=2 2 ， OP 3 =2 2 ×2=2 3 ， OP 4 =2 3 ×2=2 4 ，…， OP n =2 n-1 ×2=2 n . ∵每次旋转45°，点P 0 在x轴正半轴， ∴点P 2 在y轴负半轴. ∴点P 2 的坐标为（0，-4）. ∵OP n 为所在象限的平分线上，∴ . ①m为奇数时，点P n 在第二象限，点 ； ②m为偶数时，点P n 在第四象限， 综上所述，点P n 的坐标为 或 ．