Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB.（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB.（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.（2）若AB＝10，BE＝2EC，求EF的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）4.

试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠ABE=∠AEB，再根据等角对等边求出AD=AB，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）由AD∥BC得到△AFD∽△EFB，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可. （1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC. ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB. ∵∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠DBC. ∵∠ABE=∠ABD+∠DBC，∴∠ABD=∠ADB. ∴AD=AB.. ∴四边形ABCD是菱形. （2）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFD∽△EFB.∴ . ∵AD=BC，BE=2EC，∴ . ∵AE=AB=10，∴ . ∴ .