Question

（2014?金山区二模）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（

（2014?金山区二模）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE∥CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN=CE．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，AC⊥CD，
∴∠BAP=∠DCP=90°，
∵E、F分别是线段BP和DP的中点，
∴AE=PE=BE，CF=PF，
∴∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠FCP，
∴AE∥CF；


（2）证明：连接EM、EN，
∵M、E分别为AP、BP的中点，
∴EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴ME∥DC，即EM∥CN，
∵AB∥CD，
∴△AEB∽△QED，
∴

AE

EQ

=

BE

DE

，
∵AE=BE，
∴DE=EQ，
∵N为DQ的中点，
∴EN⊥AQ，
∵∠ACD=90°，
∴EN∥MC，
∴四边形MCNE是矩形，
∴MN=CE．